El complejo concepto del infinito

Todos estamos acostumbrados a utilizar la palabra "infinito", y la verdad es que nunca nos paramos realmente a pensar en lo inimaginablemente grande que es. ¿Cuál es tu concepción de infinito? ¿Lo más grande posible? ¿La totalidad del universo? ¿La eternidad? Si te ves abrumado por lo abstracto del concepto no estas solo, es un tema que lleva perturbando a los matemáticos desde hace siglos.

Empecemos con un poco de historia: Georg Cantor (1845-1918) fue un matemático alemán que se dedicó al estudio de los conjuntos infinitos. Gracias a sus investigaciones, la matemática actual es capaz de comprender formalmente el difícil concepto de infinito. Desgraciadamente, en su época su trabajo no fue tan bien visto; de hecho fue muy criticado por sus compañeros y profesores hasta llegar al punto que fue ingresado en un psiquiátrico donde pasó el resto de su vida hasta fallecer. Fue el primero en diferenciar diferentes niveles de infinito y en plantear la hipótesis del contínuo, que finalmente resultó que era, al mismo tiempo, imposible de demostrar que era cierto e imposible de demostrar que era falso (curioso, ¿no?).

Volviendo a nuestro tema, hoy hablaré de una comparación, un relato ideado por el matemático David Hilbert donde intenta explicar la inmensidad del infinito. 

Imagina que eres un magnate de la hostelería, y tú y tu socio decidís crear el hotel más grande del mundo. La primera pregunta sería, obviamente, cuántas habitaciones debería tener el hotel:

- 10 000 habitaciones son suficientes, ¿no?

- ¡Entonces podría haber un hotel con 20 000, y sería mayor que el nuestro!

- Pues que sean 20 000.

- Ya, pero de la misma manera podría haber otro hotel con 30 000 habitaciones...

Siguiendo el diálogo llegáis a la conclusión de que, para que ningún otro hotel sea mayor que el vuestro, vuestro hotel ha de tener infinitas habitaciones. Pese a las dificultades logísticas (y físicas) os las arregláis para construir este hotel, y una noche vuestro hotel está al completo. Felicidad máxima, ¿verdad? Un hotel infinito, completamente lleno con clientes, ganando infinito dinero... ¡El sueño de cualquier empresario! Para que se encargue de complacer a vuestros huéspedes, contratáis a un recepcionista nocturno.

Pero, de repente, ocurre lo inesperado: un nuevo cliente llama a la puerta del hotel pidiendo una habitación. En vez de rechazarlo, nuestro recepcionista se propone hacerle sitio. ¿Pero cómo, si nuestro hotel está lleno? Tras mucho pensar, decide cambiar a todos los huéspedes de habitación, moviendo al huésped en la habitación 1 a la habitación 2, al de la habitación 2 a la 3, al de la 3 a la 4, y así sucesivamente, de modo que el huésped en la habitación n pasa a la habitación n + 1.

De esta manera, ha conseguido dejar la habitación 1 libre, a la que entra el nuevo huésped, y todos los anteriores siguen con una habitación. Pero pensarás, ¿y qué pasa con el huésped en la última habitación? ¿No se quedaría fuera? Esa es la "magia" del infinito: simplemente no hay última habitación, el hotel sigue y sigue y sigue...

Más tarde esa misma noche, el timbre de la puerta vuelve a sonar, esta vez con 50 nuevos clientes que quieren habitación. Perplejo al principio, el recepcionista se da cuenta de que puede seguir la regla anterior: cambia al huésped de la habitación 1 a la habitación 41, al huésped de la habitación 2 a la 42... Así, el huésped en la habitación n pasa a la habitación n + 40.

Vistos estos acontecimientos, nuestro ingenioso recepcionista se ve capaz de dar alojo a cualquier número finito de nuevos huéspedes en su hotel ya lleno, pasando cada huésped que ya está en el hotel en la habitación n a la habitación n + p para p clientes nuevos.

Ya relajado, el timbre vuelve a sonar una vez más. Un autobús de la compañía Infini-tours llega a las puertas del hotel con un número infinito de pasajeros. El recepcionista no podía creer lo que veía, y empezó a ponerse nervioso ya que se veía incapaz de hacer espacio para un número infinito de nuevos huéspedes. Antes de seguir leyendo, piensa para ti mismo qué harías tú en su lugar, cómo harías sitio para un número infinito de personas.

Cansado de tanto pensar, nuestro pobre recepcionista se dedica a ver los minutos pasar mirando fijamente al reloj, cuando se da cuenta de una cosa: "Hay tantos números pares como impares del 1 al 12... Pero además, hay muchísimos números pares, infinitos diría yo... ¡Anda! Si hay infinitos números pares, y hay tantos pares como impares... ¡también hay infinitos números impares!" Había dado con la clave: transportó al huésped de la habitación 1 a la 2, al de la habitación 2 a la 4, al de la 3 a la 6, al de la 4 a la 8, etc, ocupando solo las habitaciones pares y dejando libres todas las impares, también infinitas, donde metería al infinito número de pasajeros. Así, mueve al huésped en la habitación n a la habitación 2n y al pasajero del autobús m a la habitación 2m - 1. Fácil para el huésped de la 2, que va a la 4, difícil para el de la 468 987 328, que ha de ir a la 937 974 656.

El hotel está haciendo más dinero que nunca (técnicamente el mismo de siempre, infinito) y el recepcionista está feliz, aunque está recibiendo infinitas reclamaciones de los huéspedes por tener que cambiar habitación a las 4 de la mañana.

Creyendo haberlo visto todo, los jefazos de Infini-tours, celosos del éxito del hotel, le mandan un último reto que creen que será definitivo: un infinito número de autobuses, cada uno con un infinito número de pasajeros. ¡Ahora sí que tiene un verdadero problema! Si no consigue alojar a todos los nuevos huéspedes perderá una cantidad infinita de dinero, y probablemente sus jefes decidan despedirle (aunque tú no eres así, y le comprendes).

Inesperadamente, el fantasma de Euclides se le aparece a nuestro recepcionista y le recuerda que alrededor del año 300 a.C. él demostró que hay un número infinito de números primos (estos son, números que sólo tienen por divisores el 1 y él mismo). Como una inspiración divina, a nuestro ingenioso recepcionista se le ocurre la solución para acomodar en infinitas habitaciones a infinitos autobuses con infinitos pasajeros. Para ello, al huésped de la habitación 1 le manda a la habitación 2, al de la habitación 2 a la 4, al de la 3 a la 8, llevando al huésped de la habitación n a la habitación 2ⁿ. De esta manera todos los huéspedes están en una habitación cuyo número es una potencia de dos, múltiplos sólo de dos.
Para el primer autobús, a cada pasajero le asigna la habitación del siguiente primo, 3, elevado al número de su asiento. Así, el primer pasajero iría a la habitación 3, el segundo a la 9, el tercero a la 27, y el pasajero n iría a la habitación 3ⁿ. Siguiendo este método:
- Los huéspedes del hotel: n ↦ 2ⁿ. 
- Los pasajeros del primer autobús: n ↦ 3ⁿ.
- Los pasajeros del segundo autobús: n ↦ 5ⁿ.
- Los pasajeros del tercer autobús: n ↦ 7ⁿ.
- .....

Así ninguna habitación comparte factores con ninguna otra. Curiosamente habrá habitaciones (muchas) que se quedarán vacías, como la 6, la 12, la 28, y toda aquella que sea un producto de primos diferentes. Afortunadamente, sus jefes no son muy avispados con las matemáticas y no se dan cuenta de ello.

El propósito de esta comparación es que consigamos hacernos una idea de lo grande que es el concepto de infinito, y las reglas tan poco intuitivas que sigue. Este hotel y los métodos del recepcionista son sólo posibles gracias a que el hotel sólo trata con el nivel más bajo de infinito, el infinito contable, como el de los números naturales (1, 2, 3, 4...).

En el hotel infinito de los números reales existen habitaciones negativas, fraccionarias (donde el huésped de la habitación 1/2 siempre cree que tiene menos espacio que el de la 1), habitación √2 y habitación π, donde la habitación está decorada con motivos circulares. En este tipo de hotel no sirven los mismos números, ya que el infinito de los números reales es mayor que el de los números naturales:

Si queréis volver a ver la historia, pero de un modo más gráfico, aquí tenéis un vídeo del canal QuantumFracture: